Karmaşık Sayı Hesaplayıcı

Kategori: Cebir II

- 28 Kasım 2025

| |

Bu hesap makinesi, i'nin hayali birim olduğu a + bi biçimindeki karmaşık sayılarla işlemler yapmanıza yardımcı olur.

Karmaşık Sayılar Girişi

Birinci Karmaşık Sayı:

+ i

İkinci Karmaşık Sayı:

+ i

İşlem

+ Toplama

− Çıkarma

× Çarpma

÷ Bölme

z* Karmaşık Eşleniği

|z| Modül

arg(z) Açı

re^iθ Kutuplu Form

z² Kare

√z Karekök

zⁿ Üs

ⁿ√z n'inci Kök

Görüntüleme Seçenekleri

Ondalık Basamaklar:

Adımları göster

Görselleştirmeyi göster

Karmaşık Sayılar Hakkında

Karmaşık sayılar, a ve b'nin gerçek sayılar olduğu ve i'nin i² = -1 özelliğine sahip hayali birim olduğu a + bi biçimindeki sayılardır. Tek boyutlu sayı doğrusunun kavramını iki boyutlu karmaşık düzleme genişletir.

Karmaşık Sayılarla Temel İşlemler

Toplama: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Çıkarma: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Çarpma: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Bölme: (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
Karmaşık Eşleniği: (a + bi)* = a - bi
Modül: |a + bi| = √(a² + b²)
Açı: arg(a + bi) = tan⁻¹(b/a) (uygun çeyrek ayarlamaları ile)

Karmaşık Sayıların Biçimleri

Dikdörtgen form: z = a + bi (Kartezian koordinatlar)
Kutuplu form: z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) (burada r modül ve θ açıdır)

Karmaşık Sayıların Uygulamaları

Karmaşık sayılar, aşağıdakilerde önemlidir:

Elektrik mühendisliği ve sinyal işleme
Kuantum mekaniği ve fizik
Kontrol teorisi ve sistem analizi
Akışkan dinamiği ve aerodinamik
Bilgisayar grafikleri ve fraktallar

Kompleks Sayı Nedir?

Kompleks sayı, iki bölümden oluşan bir sayıdır:

Gerçek bölüm: Normal bir sayı olarak temsil edilir (örneğin, 3).
Hayali bölüm: i ile çarpılan bir sayı olarak temsil edilir; burada i, -1'in kareköküdür.

Bir kompleks sayı şu şekilde yazılır:

a + bi

Burada:

a gerçek bölümdür.
b hayali bölümün katsayısıdır.

Örneğin:

2 + 3i bir kompleks sayıdır.
5 + 0i bir gerçek sayıdır (hayali bölüm yoktur).
0 + 4i tamamen hayali bir sayıdır.

Kompleks Sayıların Uygulamaları

Kompleks sayılar çeşitli alanlarda kullanılır:

Mühendislik: Devre analizi, sinyal işleme.
Matematik: İkinci dereceden denklemleri çözme, fraktallar.
Fizik: Dalgaları ve osilasyonları temsil etme.

Kompleks Sayı Hesaplayıcısının Özellikleri

Temel Aritmetik: İki kompleks sayının toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştirin.
Karmaşık Sayının Konjugatı: Bir kompleks sayının konjugatını bulun.
Modül: Bir kompleks sayının büyüklüğünü hesaplayın.
Kutuplu Form Dönüşümü: Bir kompleks sayıyı kutupsal koordinatlarda ifade edin.
İnvers: Bir kompleks sayının tersini hesaplayın.
Aşama Aşama Açıklama: Her hesaplama için ayrıntılı adımları görün.

Kompleks Sayı Hesaplayıcısı Nasıl Kullanılır

Adım 1: Kompleks Sayıları Girin

İlk kompleks sayının gerçek ve hayali bölümlerini Kompleks Sayı 1 etiketli alanlara girin.
İkinci kompleks sayının gerçek ve hayali bölümlerini Kompleks Sayı 2 etiketli alanlara girin.

Adım 2: İşlemi Seçin

Açılır menüden bir işlem seçin:
- Toplama (+): İki kompleks sayıyı toplar.
- Çıkarma (-): İkinci kompleks sayıyı birinciden çıkarır.
- Çarpma (*): İki kompleks sayıyı FOIL yöntemiyle çarpar.
- Bölme (/): İlk kompleks sayıyı ikinciye böler.
- Konjugat: İlk kompleks sayının konjugatını bulur.
- Modül: İlk kompleks sayının büyüklüğünü hesaplar.
- Kutuplu Form: İlk kompleks sayıyı kutupsal koordinatlara dönüştürür.
- İnvers: İlk kompleks sayının tersini hesaplar.

Adım 3: "Hesapla"ya Tıklayın

Hesaplamayı gerçekleştirmek için "Hesapla" butonuna basın. Hesaplayıcı:
- Sonucu sonuç bölümünde görüntüler.
- Her hesaplama adımının ayrıntılı bir dökümünü sağlar.

Adım 4: Alanları Temizle

Tüm alanları sıfırlamak ve yeni bir hesaplama başlatmak için "Temizle" butonuna basın.

Örnek Hesaplamalar

Örnek 1: Toplama

Girdi:

Kompleks Sayı 1: 2 + 3i
Kompleks Sayı 2: 4 + 5i
İşlem: Toplama

Hesaplama:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

Çıktı:

Sonuç: 6 + 8i

Örnek 2: Kutuplu Form

Girdi:

Kompleks Sayı: 2 + 3i
İşlem: Kutuplu Form

Hesaplama:

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan^-1(3/2) ≈ 0.98 radyan

Kutuplu Form = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Çıktı:

Sonuç: 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

Kompleks sayılar için FOIL yöntemi nedir?

FOIL yöntemi şunları ifade eder:

F: İlk terimleri çarpın.
O: Dış terimleri çarpın.
I: İç terimleri çarpın.
L: Son terimleri çarpın.

İki kompleks sayı (a + bi) ve (c + di) için, FOIL çarpmayı şu şekilde basitleştirir:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Çünkü i^2 = -1, sonuç şu hale gelir:

(ac - bd) + (ad + bc)i

Bir kompleks sayının modülü nasıl hesaplanır?

Bir a + bi sayısının modülü (veya büyüklüğü):

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

Bu, kompleks düzlemde kompleks sayının orijine olan mesafesini temsil eder.

Bir kompleks sayının konjugatı nedir?

a + bi sayısının konjugatı a - bi'dir. Hayali bölümün işaretini tersine çevirerek elde edilir.

Bir kompleks sayının kutupsal formu nedir?

a + bi sayısının kutupsal formu:

r(cos θ + i sin θ)