Yönsel Türev Hesaplayıcı

Kategori: Kalkülüs
- 19 Ağustos 2025
| |

Yönsel Türev Nedir?

Yönsel türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadan belirli bir yönde hareket ederken nasıl değiştiğini ölçer. x veya y gibi bireysel değişkenlere odaklanmak yerine bir vektör yönünü dikkate alarak kısmi türevler kavramını genişletir.

  • Basit terimlerle, belirli bir noktada belirli bir yönde f(x, y, z) fonksiyonunun değişim oranını hesaplar.
  • Matematiksel olarak şu şekilde gösterilir:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Burada: - ∇f, tüm değişkenlere göre kısmi türevleri içeren fonksiyonun gradyan vektörüdür. - v̂, normalize edilmiş (birim uzunlukta) yön vektörüdür.

  • Yönsel türev sonucu, fonksiyonun verilen yönde artıp artmadığını, azalıp azalmadığını veya sabit kalıp kalmadığını belirten tek bir sayıdır.

Yönsel Türev Hesaplayıcısının Temel Özellikleri

  • Dinamik Girdi: Herhangi bir çok değişkenli fonksiyonu, bir değerlendirme noktası ve bir yön vektörü girin.
  • Adım Adım Açıklama: Hesaplayıcı, gradyan ve yönsel türevin nasıl hesaplandığını gösteren ayrıntılı adımlar sunar.
  • Grafiksel Görselleştirme: Bir grafik, fonksiyonun yön vektörü boyunca davranışını gösterir.
  • Yerleşik Örnekler: Yaygın fonksiyonlar için sağlanan örneklerle aracı hızlıca test edin.

Yönsel Türev Hesaplayıcısını Nasıl Kullanılır

Girdi Alanları:

  1. Fonksiyonu Girin: x^2 + y^2 + z^2 veya sin(x) * cos(y) gibi çok değişkenli bir fonksiyon belirtin.
  2. Değerlendirme Noktası: Türevlerin değerlendirileceği noktayı sağlayın (örneğin, 1,1,1).
  3. Yön Vektörü: Türev hesaplanacak vektörü girin (örneğin, 1,2,3).

Örnekler Açılır Menüsü:

  • Alanları otomatik olarak doldurmak için önceden tanımlanmış bir örneği seçin:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 noktası (1, 1, 1) yönünde v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) noktası (0, 0) yönünde v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) noktası (1, 2) yönünde v = (0, 1).

Düğmeler:

  • Hesapla: Hesaplamayı yapın ve sonuçları, adımları ve bir grafiği gösterin.
  • Temizle: Tüm girdi alanlarını ve çıktıları sıfırlayın.

Örnek İnceleme: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Girdi:

  • Fonksiyon: sin(x) * cos(y)
  • Nokta: (0, 0)
  • Yön Vektörü: (1, 1)

Hesaplama:

  1. Gradyan vektörünü hesaplayın:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. (0, 0) noktasında değerlendirin:

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. Yön vektörünü (1, 1) normalize edin:

  8. Birim vektör: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. Yönsel türevi hesaplayın: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Sonuç:

  • Yönsel türev: 1/√2

Görselleştirme:

  • Grafik, verilen noktadan yön vektörü boyunca fonksiyonun davranışını gösterir.

Hesaplayıcıyı Kullanmanın Faydaları

  • Verimlilik: Sıkıcı manuel türev alma ve değerlendirmeleri otomatikleştirir.
  • Açıklık: Süreci adım adım açıklar, öğrenme veya doğrulama için idealdir.
  • Çeşitlilik: İki veya üç değişkenli fonksiyonları işler ve herhangi bir yönde türev hesaplar.

Yönsel Türev Hesaplayıcısını Ne Zaman Kullanmalısınız

  • Matematik ve Fizik: Çok değişkenli fonksiyonlarda gradyanları ve değişim oranlarını analiz edin.
  • Makine Öğrenimi ve AI: Gradyan yönlerinde maliyet fonksiyonu davranışını değerlendirin.
  • Mühendislik ve Optimizasyon: Belirli kısıtlamalar veya yönler altında fonksiyonlardaki değişimleri değerlendirin.

Grafiksel Çıktı

  • Fonksiyonun yön vektörü boyunca davranışını göstermek için bir grafik oluşturulur.
  • X ekseni t'yi, yön vektörü boyunca mesafeyi temsil eder.
  • Y ekseni f(t)'yi, o mesafe boyunca fonksiyon değerini temsil eder.