Ters Türev Hesaplayıcı

Kategori: Kalkülüs
- 18 Mayıs 2025
| |

Bir fonksiyonun antiderivatifini (belirsiz integral) bulun. Bu hesap makinesi, türevinden orijinal fonksiyonu belirlemenize yardımcı olur.

Girdi Fonksiyonu

Görüntüleme Seçenekleri

Antiderivatifler ve İntegrasyon Hakkında

Bir fonksiyon f(x) için bir antiderivatif (veya belirsiz integral), türevi f(x) olan bir fonksiyon F(x)'dir. Başka bir deyişle, eğer F'(x) = f(x) ise, o zaman F(x) f(x)'in bir antiderivatifidir.

Antiderivatiflerin Temel Özellikleri
  • Eğer F(x) f(x)'in bir antiderivatifiyse, o zaman F(x) + C de bir antiderivatifdir, burada C herhangi bir sabittir
  • Bir toplamın antiderivatifleri, antiderivatiflerin toplamıdır: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Sabit çarpan kuralı: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, burada k bir sabittir
  • Güç kuralı: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, burada n ≠ -1
  • e^x'in integrali: ∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x'in integrali: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
İntegrasyon Uygulamaları

Antiderivatifler ve integrasyonun birçok uygulaması vardır:

  • Eğrilerin altında ve eğriler arasında alan bulma
  • Üç boyutlu nesnelerin hacimlerini hesaplama
  • Farklı denklemleri çözme
  • Fizik uygulamaları: iş, enerji ve hareket
  • Olasılık ve istatistik
  • Mühendislik: gerilme analizi, akışkanlar dinamiği, vb.

Ters Türev Nedir?

Ters türev, verilen bir fonksiyonun tersinin türevini hesaplamaya yardımcı olur. Bir fonksiyon ( f(x) ) için, tersinin türevi ( f^{-1}(x) ) aşağıdaki formül kullanılarak belirlenir:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Bu formül, ( f(f^(-1)(x)) = x ) ilişkisi ile ortaya çıkar. Her iki tarafı ( x ) cinsinden türevleyerek:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

( (f^(-1)(x))' ) için çözümleyerek:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Bu kavram, bir ters fonksiyonun belirli bir noktada ne kadar hızlı değiştiğini analiz etmek için kalkülüste özellikle faydalıdır.

Ters Türev Hesaplayıcısının Özellikleri

  • Ayrıntılı Adımlar: Bir fonksiyon ve bir ( x ) değeri girin, ayrıntılı adım adım çözümü görün.
  • Örnek Fonksiyonlar: Hesaplayıcıyı ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) veya ( f(x) = ln(x) ) gibi önceden yüklenmiş fonksiyonlarla test edin.
  • Grafiksel Görselleştirme: Hesaplayıcı, hem fonksiyonu hem de ters türevini çizer.

Ters Türev Hesaplayıcısını Nasıl Kullanılır

  1. Bir Fonksiyon Girin: Ters türevini hesaplamak istediğiniz ( f(x) ) fonksiyonunu girin. Örneğin: x^2 + 1 veya e^x.
  2. Bir ( x ) Değeri Belirleyin: Ters fonksiyonun türevini hesaplamak istediğiniz noktayı girin.
  3. Hesapla'ya Tıklayın: Sonucu ve hesaplamanın ayrıntılı açıklamasını görün.
  4. Önceden Yüklenmiş Örnekleri Keşfedin: Açılır menüyü kullanarak örnek fonksiyonları deneyin ve hesaplayıcının nasıl çalıştığını görün.

Örnek Uygulama

Diyelim ki ( f(x) = x^2 + 1 ) fonksiyonunun ters türevini ( x = 2 ) noktasında hesaplamak istiyorsunuz:

  1. ( f(x) ) fonksiyonunun türevi:

( f'(x) = 2 * x )

  1. ( f'(2) ) değerini hesaplayın:

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Ters türev formülünü kullanarak:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

( x = 2 ) noktasında, ters türev:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Bu Hesaplayıcıyı Kullanmanın Ana Faydaları

  • Karmaşık fonksiyonların ters türevini hızlı bir şekilde hesaplayın.
  • Etkileşimli bir grafikte fonksiyonu ve ters türevini görselleştirin.
  • Adım adım çözümlerle süreci anlayın.