Tanjant Düzlem Hesaplayıcı

Kategori: Kalkülüs
- 21 Eylül 2025
| |

Bu hesap makinesi, belirli bir noktada bir yüzeye ait teğet düzlemin denklemini bulur. Teğet düzlem denklemini hesaplamak ve yüzeyi ve düzlemi görselleştirmek için bir yüzey denklemi ve nokta koordinatları girin.

Girdi Yüzeyi

Görüntüleme Seçenekleri

Teğet Düzlemler Hakkında

Belirli bir noktada bir yüzeye ait teğet düzlem, o noktada yüzeye sadece dokunan ve teğet noktasındaki yüzeye "paralel" olan bir düzlemdir. Bu, o noktadaki yüzeyin en iyi lineer yaklaşımıdır.

Farklı Yüzey Türleri için Teğet Düzlemleri Bulma
  1. Açık Yüzey (z = f(x,y)):

    Bir yüzey z = f(x,y) için, (x₀, y₀, z₀) noktasındaki teğet düzlemin denklemi:

    z - z₀ = f_x(x₀, y₀)(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)(y - y₀)

    burada f_x ve f_y, f'nin x ve y'ye göre kısmi türevleridir.

  2. Kapalı Yüzey (F(x,y,z) = 0):

    Bir yüzey F(x,y,z) = 0 için, (x₀, y₀, z₀) noktasındaki teğet düzlemin denklemi:

    F_x(x₀, y₀, z₀)(x - x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀)(y - y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀)(z - z₀) = 0

    burada F_x, F_y ve F_z, F'nin x, y ve z'ye göre kısmi türevleridir.

  3. Parametrik Yüzey (x,y,z = f(u,v)):

    x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) ile parametrik bir yüzey için, (u₀, v₀) noktasına karşılık gelen noktadaki teğet düzlemin normal vektörü:

    n = (∂r/∂u) × (∂r/∂v)

    burada r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) ve × çarpımını temsil eder.

Teğet Düzlemlerin Uygulamaları
  • Lineer Yaklaşım: Teğet düzlemler, teğet noktasındaki yüzeyin lineer bir yaklaşımını sağlar.
  • Farklı Geometri: Teğet düzlemler, yüzeylerin yerel davranışını analiz etmeye yardımcı olur.
  • Bilgisayar Grafikleri: Teğet düzlemler, gölgeleme ve aydınlatma hesaplamalarında kullanılır.
  • Optimizasyon: Teğet düzlemler, kısıtlamalarla fonksiyonların ekstremalarını bulmaya yardımcı olur.
  • Fizik: Teğet düzlemler, yüzeylerdeki kuvvetleri ve alanları analiz etmek için mekanik ve elektromanyetizmada kullanılır.
Yaygın Örnekler
Yüzey Nokta Teğet Düzlem Denklemi
z = x² + y² (1, 2, 5) z = 2x + 4y - 1
x² + y² + z² = 4 (0, 0, 2) z = 2
Helikoid: x = u·cos(v), y = u·sin(v), z = v u=2, v=0 z = x/2

Tanjant Düzlem Hesaplayıcı: Amaç ve Talimatlar

Tanjant Düzlem Nedir?

Tanjant düzlem, üç boyutlu uzayda belirli bir noktada verilen bir yüzeye "tam olarak dokunan" düz bir yüzeydir. Bu, o noktaya yakın yüzeyin bir yaklaşımıdır ve yerel davranışı anlamak için geometri, kalkülüs ve mühendislikte kullanışlıdır. Tanjant düzlem denklemi, yüzey denkleminin kısmi türevleri ve verilen noktanın koordinatları kullanılarak türetilir.

Örneğin, bir yüzey için ( f(x, y, z) = k ), ( (x_0, y_0, z_0) ) noktasındaki tanjant düzlem aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: [ \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0 ]

Bu denklem, düzlemin belirli noktada yüzeye teğet olmasını sağlar.

Tanjant Düzlem Hesaplayıcısını Nasıl Kullanılır

Tanjant Düzlem Hesaplayıcı belirli bir noktada ( f(x, y, z) = k ) yüzeyi için tanjant düzlem denklemini bulma sürecini basitleştirir. İşte bunu etkili bir şekilde nasıl kullanabileceğiniz:

Kullanım Adımları:

  1. Fonksiyonu Girin:

  2. Yüzey denklemini ( f(x, y, z) = k ) giriş alanına yazın. Örneğin: x^2 + y^2 + z^2 = 14.

  3. Noktayı Belirleyin:

  4. Tanjant düzlemini bulmak istediğiniz ( (x_0, y_0, z_0) ) noktasının koordinatlarını girin. Örnek: ( (1, 3, 2) ).

  5. Hesapla:

  6. "Hesapla" butonuna tıklayın. Hesaplayıcı:

    • Yüzey denkleminin ( x ), ( y ) ve ( z ) cinsinden kısmi türevlerini hesaplayacaktır.
    • Türevleri ve noktayı tanjant düzlem denklemi içine yerleştirecektir.

  7. Çözümü Görüntüle:

  8. Hesaplayıcı, tanjant düzlem denklemini ve hesaplamanın ayrıntılı adımlarını gösterecektir.

  9. Grafiği Görselleştir:

  10. Daha iyi anlamak için tanjant düzleminin ve yüzeyin ilişkisini gösteren basitleştirilmiş bir grafik görüntülenir.

  11. Girişleri Temizle:

  12. Hesaplayıcıyı varsayılan örneğine sıfırlamak için "Tümünü Temizle" butonuna tıklayın.

Tanjant Düzlem Hesaplayıcısının Ana Özellikleri

  • Kullanımı Kolay Arayüz: Yüzey denkleminizi ve nokta koordinatlarınızı temiz, sezgisel bir düzen içinde girin.
  • Ayrıntılı Adımlar: Hesaplama adımlarını takip ederek süreci anlayın.
  • Grafiksel Görselleştirme: Tanjant düzleminin 2D temsilini görüntüleyin.
  • Önceden Doldurulmuş Örnek: Hızlı test için önceden yüklenmiş bir örnekle başlayın.

SSS

1. Hangi tür denklemleri girebilirim?

( f(x, y, z) = k ) biçimindeki herhangi bir denklemi girebilirsiniz. Örnekler: - ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) - ( x^2 + y^2 - z = 10 )

2. Geçerli bir giriş sağlamazsam ne olur?

Hesaplayıcı, geçerli bir denklem ve nokta girmenizi isteyen bir hata mesajı gösterecektir.

3. Hesaplamalar ne kadar doğru?

Hesaplayıcı, kısmi türevleri hesaplamak ve fonksiyonları değerlendirmek için Math.js gibi gelişmiş kütüphaneler kullanarak yüksek doğruluk sağlar.

4. Bunu örtük yüzeyler için kullanabilir miyim?

Evet, hesaplayıcı ( f(x, y, z) = k ) olan örtük yüzeyleri işlemek için özel olarak tasarlanmıştır.

5. Hesaplayıcıyı sıfırlayabilir miyim?

Evet, "Tümünü Temizle" butonuna tıklamak, giriş alanlarını varsayılan örnek değerlerine sıfırlar.

Örnek Uygulama

Diyelim ki yüzey denklemi ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) ve nokta ( (1, 3, 2) ).

  1. Giriş:
  2. Fonksiyon: x^2 + y^2 + z^2 = 14

  3. Nokta: ( (1, 3, 2) )

  4. Kısmi Türevler:

  5. ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x )
  6. ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y )

  7. ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2z )

  8. Değerleri Yerleştir:

  9. ( (1, 3, 2) ) noktasında:

    • ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(1) = 2 )
    • ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3) = 6 )
    • ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2(2) = 4 )

  10. Tanjant Düzlem: [ 2(x - 1) + 6(y - 3) + 4(z - 2) = 0 ] Basitleştir: [ 2x + 6y + 4z = 28 ]

Sonuç

Tanjant Düzlem Hesaplayıcı, üç boyutlu uzaydaki yüzeyler için tanjant düzlemleri hızlı ve doğru bir şekilde hesaplamak için güçlü bir araçtır. Sezgisel arayüzü ve ayrıntılı çıktıları ile kalkülüs veya 3D geometri ile çalışan öğrenciler, mühendisler ve araştırmacılar için mükemmeldir.