SVD Hesaplayıcı

Kategori: Lineer Cebir
- 29 Eylül 2025
| |

Bir matrisin Tekil Değer Ayrışımını (SVD) hesaplayın. SVD, bir matrisi üç bileşene ayırır: U, Σ ve V*. Bu ayrıştırmanın istatistik, sinyal işleme, görüntü sıkıştırma ve daha fazlasında birçok uygulaması vardır.

Matris Girişi

Görüntüleme Seçenekleri

Tekil Değer Ayrışımı Hakkında

Tekil Değer Ayrışımı (SVD), bir matris A'yı üç matrise ayıran bir faktörizasyon tekniğidir: U, Σ ve V*. Veri bilimi, sinyal işleme ve lineer cebir alanlarında geniş uygulamalara sahiptir.

Matematiksel Tanım

m×n boyutunda bir matris A için, SVD şudur:

A = UΣV*

burada:

  • U, m×m boyutunda ortogonal bir matristir (U*U = I)
  • Σ, negatif olmayan tekil değerlerle m×n boyutunda bir diyagonal matristir
  • V*, n×n boyutunda ortogonal bir matris V'nin konjugat transpozudur (V*V = I)
SVD Uygulamaları
  • Boyut Azaltma: Temel Bileşen Analizi (PCA)
  • Görüntü Sıkıştırma: Depolamayı azaltırken görüntü kalitesini koruma
  • Veri Analizi: Gürültü azaltma ve özellik çıkarımı
  • Öneri Sistemleri: Öneriler için işbirlikçi filtreleme
  • Pseudoinverse Hesaplama: Kötü koşullu sistemlerin çözümlerini bulma
  • Sinyal İşleme: Filtreleme ve gürültü azaltma
SVD Özellikleri
  • Tekil değerler benzersizdir ve azalan sırada düzenlenmiştir
  • Sıfırdan farklı tekil değerlerin sayısı, matrisin rütbesine eşittir
  • Koşul sayısı, en büyük ile en küçük tekil değer arasındaki orandır
  • SVD, A⁺ = VΣ⁺U* ile pseudoinverse hesaplamak için kullanılabilir
  • SVD, hesaplama için sayısal olarak kararlıdır

Tekil Değer Ayrışımı Formülü:

A = UΣV*

Burada:

  • U = sol tekil vektörlerin matrisidir
  • Σ = tekil değerlerin diyagonal matrisidir
  • V* = sağ tekil vektörlerin matrisinin transpozesidir

SVD Hesaplayıcı Nedir?

Tekil Değer Ayrışımı (SVD) Hesaplayıcı, herhangi bir matrisi üç temel bileşene ayıran web tabanlı bir araçtır: U, Σ (Sigma) ve V*. Bu süreç, veri sıkıştırma, sinyal filtreleme ve denklem sistemlerini çözme gibi uygulamalar için lineer cebirde yaygın olarak kullanılmaktadır.

SVD Hesaplayıcı ile bir matrisin yapısını hızlıca analiz edebilir, boyutsal özelliklerini anlayabilir ve koşul sayısı, rütbe ve pseudoinverse gibi anahtar değerleri hesaplayabilirsiniz.

Neden Bu Hesaplayıcıyı Kullanmalıyım?

Bu araç size yardımcı olur:

  • Derinlemesine analiz için bir matrisi U, Σ ve V*'ye ayırmak
  • Matrisinizin tekil değerleri aracılığıyla davranışını anlamak
  • Matris rütbesi, koşul sayısı ve Frobenius normu gibi özellikleri keşfetmek
  • Ayrıştırmanın doğruluğunu doğrulamak
  • Moore-Penrose pseudoinverse'ini anında hesaplamak

Görüntü verileri, istatistikler veya lineer sistemleri çözerken çalışıyorsanız, bu hesaplayıcı ihtiyacınız olan ayrıştırmayı sağlar. Tekil değer analizine özel odaklanarak LU Ayrıştırma Hesaplayıcısı, Pseudoinverse Hesaplayıcısı ve Matris Tersi Hesaplayıcısı gibi diğer araçları tamamlar.

SVD Hesaplayıcısını Nasıl Kullanırım?

Bu basit adımları izleyin:

  1. Matrisi için satır ve sütun sayısını seçin.
  2. Girdi alanlarını oluşturmak için “Matris Oluştur” butonuna tıklayın.
  3. Matris değerlerinizi alanlara girin.
  4. Ondalık hassasiyeti ve adım adım açıklamaları gösterip göstermeme gibi görüntüleme seçeneklerini seçin.
  5. Matrisin işlenmesi için “SVD Hesapla” butonuna tıklayın.
  6. Sonuç olarak elde edilen U, Σ ve V* matrislerini, ayrıca pseudoinverse ve koşul sayısı gibi türetilmiş değerleri gözden geçirin.

Ayrıca, “Örnek Yükle” butonunu kullanarak bir örnek matris yükleyebilir ve nasıl çalıştığını anında görebilirsiniz.

SVD Kullanmanın Faydaları

SVD birçok alanda kullanılmakta ve pratik faydalar sağlamaktadır:

  • Veri Sıkıştırma: Temel özellikleri kaybetmeden veri boyutunu azaltma
  • Gürültü Azaltma: Sinyallerde veya veri setlerinde küçük bileşenleri ortadan kaldırma
  • Makine Öğrenimi: Boyut azaltma yoluyla algoritma performansını artırma
  • Matris Çözümleri: Normal bir tersin mevcut olmadığı durumlarda pseudoinverse hesaplama
  • Görüntü İşleme: Görüntüleri verimli bir şekilde sıkıştırma ve yeniden yapılandırma

Bu araç, QR Faktörizasyon Hesaplayıcısı, Gauss-Jordan Eliminasyon Hesaplayıcısı ve Diyagonal Matris Hesaplayıcısı gibi matris araçlarıyla bir arada kullanıldığında özellikle faydalıdır.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

  • Hangi boyutta bir matris girebilirim?
    1×1'den 10×10'a kadar matrisler girebilirsiniz.
  • Matrisim çok küçük değerlere sahipse ne olur?
    Hesaplayıcı, önemli sonuçlara odaklanmanıza yardımcı olmak için sıfıra yakın değerleri vurgular.
  • SVD'nin nasıl hesaplandığını görebilir miyim?
    Evet! Ayrıştırmanın adım adım ayrıntılarını görmek için “Açıklamayı göster” seçeneğini etkinleştirin.
  • Bu araç öğrenmek için faydalı mı?
    Kesinlikle. Görsel ayrıştırma ve hesaplama adımları, öğrenciler ve eğitimciler için harika bir öğrenme aracı yapar.
  • Bu, diğer matris araçlarından nasıl farklı?
    Matris Tersi Hesaplayıcısı ve LU matris faktörizasyonu doğrudan lineer sistemlerin çözümlerine odaklanırken, SVD matrisin yapısı ve stabilitesi hakkında daha fazla içgörü sunar.

İşinize Yarayabilecek İlgili Araçlar