Simpson Kuralı Hesaplayıcı

Kategori: Kalkülüs
- 25 Kasım 2025
| |

Simpson Kuralı kullanarak belirli integralleri sayısal olarak hesaplayın. Bu hesap makinesi, eşit aralıklı noktalar üzerinden parabolik yaylar geçirerek bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki integralini yaklaşık olarak hesaplar.

İntegrasyon Parametreleri

Değişken olarak x kullanın. Matematiksel fonksiyonlar: sin, cos, tan, log, sqrt, vb.
Simpson Kuralı için çift sayı olmalıdır

Görselleştirme Seçenekleri

Simpson Kuralını Anlamak

Simpson Kuralı, belirli integraller için bir sayısal yaklaşım yöntemidir. Fonksiyonu ikinci dereceden polinomlarla yaklaşık olarak ifade eder ve bu, Trapez Kuralı gibi daha basit yöntemlere göre daha iyi bir doğruluk sağlar.

Formül
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Burada:

  • h = (b - a) / n, her alt aralığın genişliğidir
  • n, alt aralıkların sayısıdır (çift olmalıdır)
  • xi = a + i·h, eşit aralıklı noktalardır
Hata Terimi

Simpson Kuralı'nın hata terimi O(h5)'dir, bu da hatanın h4 ile orantılı olduğu anlamına gelir. Özellikle:

\text{Hata} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Burada f(4)(ξ), a ile b arasında bir noktadaki f'nin dördüncü türevidir.

Diğer Yöntemlerle Karşılaştırma
  • Orta Nokta Kuralı: Hata O(h3), Simpson Kuralı'ndan daha az doğru
  • Trapez Kuralı: Hata O(h3), Simpson Kuralı'ndan daha az doğru
  • Simpson 3/8 Kuralı: Simpson Kuralı ile benzer doğruluk
  • Gauss Quadrature: Belirli fonksiyon sınıfları için daha doğru

Uyarı: Bu hesap makinesi, tekillikler veya hızlı salınımlar içeren fonksiyonlar için hatalar içerebilecek sayısal yaklaşımlar sağlar. Önemli sonuçları her zaman alternatif yöntemler veya analitik çözümlerle doğrulayın.

Simpson Kuralı Hesaplayıcısı Nedir?

Simpson Kuralı Hesaplayıcısı, belirli bir integralin değerini tahmin eden etkileşimli bir araçtır. Karmaşık integralleri elle çözmek yerine, bu hesaplayıcı, bir eğrinin altındaki alanı yaklaşık olarak hesaplamak için güvenilir bir sayısal yöntem olan Simpson Kuralı'nı uygular. Özellikle analitik olarak entegre edilmesi zor veya imkansız olan fonksiyonlar için kullanışlıdır.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Bu yöntem, aralığı çift sayıda parçaya böler ve fonksiyonun grafiğindeki noktalar üzerinden parabolalar çizer. Trapez veya orta nokta kuralına göre daha iyi bir doğruluk sağlar.

Neden Kullanılmalı?

İster bir öğrenci, öğretmen, mühendis ya da meraklı bir öğrenici olun, Simpson Kuralı Hesaplayıcısı size şu konularda yardımcı olur:

  • Belirli integralleri hızlı bir şekilde tahmin etme
  • Eğrinin altındaki alanın nasıl yaklaşık olarak hesaplandığını görselleştirme
  • Aralık sayısını değiştirmenin etkisini anlama
  • Hata analizi yapma ve yakınsama davranışını inceleme

Ayrıca, belirli veya belirsiz integralleri çözmek için Integral Hesaplayıcısı ve antiderivatifleri bulmak için Antiderivatif Hesaplayıcısı gibi diğer araçları tamamlar. Çok değişkenli fonksiyonlarla çalışıyorsanız, kısmi türevleri hesaplamak veya çok değişkenli diferansiyasyonu analiz etmek için Kısmi Türev Hesaplayıcısına göz atabilirsiniz.

Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

Belirli integralinizin doğru bir tahminini almak için şu basit adımları izleyin:

  1. Entegre etmek istediğiniz fonksiyonu giriş kutusuna girin (değişken olarak x kullanın).
  2. Entegrasyon aralığı için alt ve üst sınırları belirleyin.
  3. Aralık sayısını seçin (çift bir sayı olmalıdır).
  4. İsteğe bağlı olarak, fonksiyon grafiğini ve yaklaşık görselleri etkinleştirin.
  5. Sonuç, grafik ve ayrıntılı açıklamayı görmek için "Integrali Hesapla" butonuna tıklayın.

Hesaplayıcıyı istediğiniz zaman "Sıfırla" butonunu kullanarak sıfırlayabilirsiniz.

Yaygın Kullanım Alanları

Simpson Kuralı Hesaplayıcısını şu amaçlarla kullanın:

  • Kesin integralin hesaplanmasının zor olduğu durumlarda eğrilerin altındaki alanı yaklaşık olarak hesaplama
  • Sayısal sonuçları bir integral çözücüsünden elde edilen kesin çözümlerle karşılaştırma
  • Aralıkları artırarak yakınsamayı analiz etme
  • Farklı aralık sayılarındaki hata davranışı hakkında bilgi edinme

Özellikle, çok değişkenli analizde İkinci Türev Hesaplayıcısı veya Yönlü Türev Hesaplayıcısı gibi araçlardan elde edilen sonuçları kontrol etmek veya tamamlamak için kullanışlıdır.

Sıkça Sorulan Sorular

S: Hangi tür fonksiyonları girebilirim?
Değişken olarak x kullanan herhangi bir fonksiyon. Yaygın ifadeler arasında polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar, üstel fonksiyonlar ve logaritmalar bulunur. Örneğin: x^2 + sin(x).

S: Neden aralık sayısı çift olmalı?
Simpson Kuralı, aralık çiftleri boyunca parabolalar çizmeye dayanır. Tek sayıda aralık, bu eşleşmeyi bozacaktır.

S: Bu yöntem ne kadar doğru?
Simpson Kuralı, düzgün fonksiyonlar için oldukça doğrudur ve daha fazla aralıkla doğruluğu artar. Hesaplayıcı ayrıca hata ve yakınsama bilgilerini de gösterir.

S: Fonksiyonum bazı noktalarda tanımsızsa ne olur?
Aralık içinde tekilliklere veya süreksizliklere sahip fonksiyonlardan kaçının. Bunlar, hatalı sonuçlara veya değerlendirme hatalarına neden olabilir.

Son Düşünceler

Bu hesaplayıcı, kalkülüs çalışmaları ve entegrasyon içeren gerçek dünya problemlerini çözmek için faydalı bir yardımcıdır. Türev Hesaplayıcısı, Ters Türev Hesaplayıcısı ve Limit Hesaplayıcısı gibi ileri matematik kavramlarını öğrenmeyi ve uygulamayı kolaylaştıran daha geniş bir matematiksel araçlar grubunun bir parçasıdır.