Sapma Hesaplayıcı

Kategori: Kalkülüs

- 24 Haziran 2025

| |

Bir vektör alanının diverjansını hesaplayın. Diverjans, "yoğunluğun" belirli bir alanı terk etme oranını ölçer ve vektör kalkülüsünde önemli bir kavramdır.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Vektör Alanı Girişi

Boyutlar:

Koordinat Sistemi:

F₁(x,y,z) =

F₂(x,y,z) =

F₃(x,y,z) =

Noktada değerlendir:

Görüntüleme Seçenekleri

Çözüm adımlarını göster

Sonucu sadeleştir

Ondalık Basamaklar:

Açı Birimi:

Diverjans Hakkında

Diverjans, bir vektör alanının bir noktadan "akma" eğilimini ölçen bir skalar miktardır. ∇·F (del dot F) veya div F ile gösterilir.

Matematiksel Tanım:

3D Kartezian koordinatlarında bir vektör alanı F = (F₁, F₂, F₃) için diverjans şöyle tanımlanır:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Fiziksel Yorum:

Diverjans, bir noktanın etrafındaki küçük bir hacimden alanın net akışını ölçer. Belirli bir noktada:

Pozitif diverjans: Alan dışarı akıyor (kaynak)
Negatif diverjans: Alan içeri akıyor (drenaj)
Sıfır diverjans: Alanın net dış akışı veya iç akışı yok (sıkıştırılamaz)

Farklı Koordinat Sistemlerinde Diverjans:

Kartezian Koordinatlar (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Silindirik Koordinatlar (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·F_r)/∂r + (1/r) · ∂F_θ/∂θ + ∂F_z/∂z

Küresel Koordinatlar (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·F_ρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·F_θ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂F_φ/∂φ

Uygulamalar:

Elektromanyetik: Gauss yasası elektrik alanı diverjansını yük yoğunluğuna bağlar
Akışkan Dinamiği: Hız alanının diverjansı akışkanların sıkıştırılabilirliğini gösterir
Isı Transferi: Isı akışının diverjansı ısı kaynaklarını veya drenajlarını tanımlar
Kuantum Mekaniği: Akım yoğunluğu diverjansı yük korunumuyla ilişkilidir

Diverjans Hesaplayıcı: Açıklama ve Kullanım Kılavuzu

Diverjans Hesaplayıcı, üç boyutlu bir vektör alanının diverjansını hesaplamak için tasarlanmış etkileşimli bir araçtır. Vektör alanı ( \mathbf{F}(x, y, z) ) için diverjansı hesaplamak ve görselleştirmek için sezgisel bir yol sunar; hem diverjansın sembolik temsilini hem de belirli noktalardaki değerlendirmesini sağlar. Ayrıca, kullanıcıların vektör alanının davranışını daha iyi anlamalarına yardımcı olmak için vektör alanının grafiksel bir görselleştirmesini oluşturur.

Diverjans Nedir?

Diverjans, bir vektör alanının belirli bir noktada ne kadar yayıldığını veya toplandığını ölçen bir skalar büyüklüktür. Matematiksel olarak, bir vektör alanının diverjansı ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) şu şekilde verilir:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

Eğer diverjans pozitifse, vektör alanı o noktada yayılmaktadır.
Eğer diverjans negatifse, vektör alanı o noktada toplanmaktadır.
Eğer diverjans sıfırsa, alan o noktada solenoidal olarak adlandırılır.

Bu hesaplayıcı, hem sembolik diverjansı hem de belirli noktalarda sayısal olarak değerlendirme seçeneğini sunar.

Diverjans Hesaplayıcısının Özellikleri

Sembolik Diverjans: Vektör alanı bileşenlerinin kısmi türevlerini otomatik olarak hesaplar ve diverjans denklemini oluşturur.
Nokta Değerlendirmesi: Diverjansı belirli bir noktada ( (x, y, z) ) sayısal olarak değerlendirir.
Grafiksel Görselleştirme: Plotly'nin etkileşimli 3D grafik oluşturma yeteneklerini kullanarak vektör alanının 3D temsilini gösterir.
Açılır Menü Örnekleri: Keşif için önceden tanımlanmış vektör alanı örneklerini hızlıca yükler.
Hata Yönetimi: Geçersiz veya eksik girişlerin düzgün bir şekilde ele alınmasını sağlar.

Diverjans Hesaplayıcısını Kullanma

Hesaplayıcıyı etkili bir şekilde kullanmak için bu basit adımları izleyin:

Vektör Alanını Girin:
Vektör alanının ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) ve ( R(x, y, z) ) bileşenlerini ilgili giriş kutularına girin.
Örneğin:
- ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
- ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
- ( R(x, y, z) = e^z )
Bir Örnek Seçin:
Önceden tanımlanmış vektör alanı örneklerini yüklemek için açılır menüyü kullanın.
Bir Değerlendirme Noktası Belirleyin (İsteğe Bağlı):
Diverjansı belirli bir noktada değerlendirmek istiyorsanız, ( x ), ( y ) ve ( z ) değerlerini ilgili alanlara girin.
"Hesapla"ya Tıklayın:
Hesaplayıcı:
- Sembolik diverjansı hesaplayacaktır.
- Belirtilen noktada diverjansı değerlendirecektir (eğer sağlanmışsa).
- Hesaplamanın adım adım dökümünü gösterecektir.
- Vektör alanının 3D görselleştirmesini oluşturacaktır.
Girişleri Temizleyin:
Hesaplayıcıyı sıfırlamak için "Temizle" butonunu kullanın.

Örnek Yürütme

Örnek Vektör Alanı:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

Bileşenleri girin:
( P(x, y, z) = \sin(xy) )
( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
( R(x, y, z) = e^z )
"Hesapla"ya tıklayın. Hesaplayıcı:
Kısmi türevleri hesaplayacaktır:
- ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
- ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
- ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
Bunları birleştirerek bulacaktır: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]
Eğer değerlendirme noktaları ( (x=1, y=1, z=0) ) sağlanmışsa, sonuç şu şekilde değerlendirilecektir: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]
Grafikte oluşturulan 3D vektör alanını görselleştirin.

SSS

1. Vektör alanı bileşenleri için hangi giriş formatları destekleniyor?

Hesaplayıcı, ( x ), ( y ) ve ( z ) cinsinden fonksiyonları destekler. Örnekler şunlardır: - Polinom fonksiyonları: ( x^2, y^2 + z ) - Trigonometrik fonksiyonlar: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Üstel fonksiyonlar: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Eğer bir değerlendirme noktası sağlamazsam ne olur?

Eğer bir değerlendirme noktası belirtilmemişse, hesaplayıcı yalnızca sembolik diverjans denklemini gösterecektir.

3. Bu hesaplayıcıyı 2D vektör alanları için kullanabilir miyim?

Evet, yalnızca ( R(x, y, z) ) bileşenini boş bırakabilir veya sıfıra ayarlayabilirsiniz.

4. 3D vektör alanı görselleştirmesi nasıl oluşturuluyor?

Hesaplayıcı, etkileşimli bir 3D vektör alanı grafiği oluşturmak için Plotly kullanır. Her ok, belirli bir noktadaki alanın yönünü ve büyüklüğünü temsil eder.

5. Eğer girdiğimde bir hata varsa ne olur?

Hesaplayıcı, eksik bileşenler veya geçersiz ifadeler gibi hataları kontrol eder. Açıklayıcı bir hata mesajı, sorunu düzeltmeniz için sizi yönlendirecektir.

Özet

Diverjans Hesaplayıcı, diverjans hesaplamasını otomatikleştirerek ve net bir görsel temsil sunarak vektör alanlarını analiz etme sürecini basitleştirir. İster öğrenci, ister öğretmen, ister profesyonel olun, bu araç 3D uzaydaki vektör alanlarının davranışını anlamak için mükemmeldir. Şimdi keşfetmeye başlayarak bu güçlü hesaplayıcının tüm potansiyelini açığa çıkarın!